Curso Prático – Calculadora HP–12C – Aula 6

hp

Neste capítulo 3, taxas de juros, iremos abordar a taxa efetiva, taxas proporcionais no regime de juros simples, taxas equivalentes no regime de juros compostos e a taxa nominal, como as taxas de juros são informadas no mercado e como adequá-las às condições padronizadas pela calculadora e alguns exercícios pra dar o devido entendimento.

Capítulo 3 – Taxas de juros

– Taxa efetiva

– Taxa equivalente

– Taxa nominal

– Exercícios

A HP-12C está baseada na condição de que a unidade referencial de tempo da taxa de juros coincide com a unidade referencial de tempo dos períodos de capitalização. Um taxa de 3%, por exemplo, pode ser interpretada como sendo: a) uma taxa de 3% ao ano, e nesse caso os períodos de capitalização (n) correspondem a anos; b) um taxa de 3% ao semestre, e nesse caso os períodos de capitalização (n) correspondem a semestres, e assim por diante.
Entretanto, nos problemas práticos, as taxas de juros e os períodos de capitalização nem sempre satisfazem essas condições.

 

– Taxa efetiva
Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas:
– 2% ao mês, capitalizados mensalmente;
– 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
– 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
– 10% ao ano, capitalizados anualmente.
Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se dizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre, 10% ao ano.
A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções financeiras das planilhas eletrônicas.

 

– Taxas proporcionais – Juros simples
Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.
O conceito de taxas proporcionais está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros simples, e é esclarecido pelos exemplos abaixo.

Exemplo
Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de $100, 00, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros:
a) 12% ao ano
b) 6% ao semestre
c) 1% ao mês
Resolução
a)
Teclas (modo RPN)
12 [ENTER] Registra a taxa de juros ao ano, 12,00 no visor
4 [x] [i] Calcula a taxa de juros ao longo dos quatro anos (juros simples), 48,00 no visor
1 [n] Indica que o período é 1, pois multiplicamos a taxa anual por 4, 1,00 no visor
100 [CHS] [PV] Armazena o principal, -100,00 no visor
[FV] Calcula o montante no final de quatro anos, no visor

b)
Teclas (modo RPN)
6 [ENTER] Registra a taxa de juros ao semestre, 6,00 no visor
8 [x] [i] Calcula a taxa de juros ao longo dos quatro anos (juros simples), 48,00 no visor
1 [n] Indica que o período é 1, pois multiplicamos a taxa anual por 8, 1,00 no visor
100 [CHS] [PV] Armazena o principal, -100,00 no visor
[FV] Calcula o montante no final de quatro anos, 148,00 mo visor

c)
Teclas (modo RPN)
1 [ENTER] Registra a taxa de juros ao mês, 1,00 no visor
48 [x] [i] Calcula a taxa de juros ao longo dos quatro anos (juros simples), 48,00 no visor
1 [n] Indica que o período é 1, pois multiplicamos a taxa anual por 48, 1,00 no visor
100 [CHS] [PV] Armazena o principal, -100,00 no visor
[FV] Calcula o montante no final de quatro anos, 148,00 no visor

Os cálculos foram realizados no regime de juros simples, e que nos três casos o principal e o prazo foram os mesmos. Nota que para esse tipo de cálculo a calculadora não é muito eficaz, fato é que temos de adaptá-la para resolver montante em juros simples.
Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre igual a R$ 148, 00, podemos concluir que as taxas de 12% a.a., 6% a.s. e 1% a.m. são proporcionais, pois produzem o mesmo montante, ao serem aplicadas sobre o mesmo principal, pelo mesmo prazo no regime de juros simples.

 

– Taxas equivalentes – Juros compostos
Costumamos sempre ver em noticiários econômicos as seguintes expressões: “As aplicações em Certificados de Depósitos Bancários pagaram ontem uma taxa média de 12% ao ano, o que representa um rendimento bruto de 0,95% ao mês”
“A taxa de inflação anual de um determinado país foi de 30% ao ano, ou seja, uma média mensal de 2,21% ao mês”
“As aplicações em poupança rendem juros de 6% ao ano, que será capitalizados mensalmente, correspondendo a uma taxa efetiva de 6,17% ao ano.”
Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele tempo, no regime de juros compostos.
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos, e é esclarecido pelos exemplos dados abaixo.
Assim vemos que a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.
Exemplo
Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de $100, 00, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros:
a) 12,6825% ao ano
b) 6,1520% ao semestre
c) 1% ao mês
a)
Teclas (modo RPN)
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros
4 [n] Armazena o tempo, 4,00 no visor
12,6825 [i] Armazena a taxa de juros ao ano, 12,68 no visor
100 [CHS] [PV] Armazena o principal, -100,00 no visor
[FV] Valor futuro (montante), 161,22 no visor

b)
Teclas (modo RPN)
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros
8 [n] Armazena o tempo, 8,00 no visor
6,1520 [i] Armazena a taxa de juros ao semestre, 6,15 no visor
100 [CHS] [PV] Armazena o principal, -100,00 no visor
[FV] Valor futuro (montante), 161,22 no visor

c)
Teclas (modo RPN)
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros
48 [n] Armazena o tempo, 48,00 no visor
1 [i] Armazena a taxa de juros ao mês, 1,00 no visor
100 [CHS] [PV] Armazena o principal, -100,00 no visor
[FV] Valor futuro (montante), 161,22 no visor
Vejam que os cálculos foram realizados no sistema de juros compostos, e que nos três casos o principal e o prazo foram os mesmos.
Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre o mesmo, R$ 161,22, pode-se concluir que as taxas 12,6825% ao ano, 6,1520% ao semestre e 1% ao mês são taxas equivalentes, pois produzem o mesmo montante ao serem aplicadas sobre o mesmo principal, pelo mesmo prazo, no regime de juros compostos.

Exemplo
Determinar a taxa anual e semestral que é equivalente à taxa de 1% ao mês.
Resolução: Suponha inicialmente que você tenha a disposição R$ 100,00 para realizar um investimento que lhe dê uma rentabilidade de 1% a.m.

Taxa anual
Teclas (modo RPN)
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros
12 [n] Armazena o período de 12 meses, 12 no visor
1 [i] Armazena a taxa de juros mensal, 1 no visor
100 [CHS] [PV] Armazena o principal, -100,00 no visor
[FV] Calcula o valor futuro ao longo do 12 meses, 112,68 no visor
100[-]Taxa anual equivalente à 1% a.m., 12,68 no visor

Taxa semestral
Teclas (modo RPN)
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros
6 [n] Armazena o período de 12 meses, 6 no visor
1 [i] Armazena a taxa de juros mensal, 1 no visor
100 [CHS] [PV] Armazena o principal, -100,00 no visor
[FV] Calcula o valor futuro ao longo do 6 meses, 106,15 no visor
100[-]Taxa anual equivalente à 1% a.m., 6,15 no visor

Exemplo
Determinar a taxa mensal que é equivalente à taxa de 10% ao ano.
Nesse caso, suponha que você tenha R$ 100,00 para aplicar durante um ano; qual o valor futuro acumulado no final de um ano, sabendo que a taxa é de 10% a.a.? Logicamente, teremos um valor futuro de R$ 110,00. Sendo assim, qual a taxa mensal que nos levaria a acumular um R$ 110,00 em um ano com um investimento de R$ 100,00?
Teclas (modo RPN)
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros
12 [n] Armazena o período, 12,00 no visor
100 [CHS] [PV] Armazena o principal, -100,00 no visor
110 [FV] Armazena o valor futuro (montante), 110,00 no visor
[i] Calcula a taxa mensal equivalente à 10% a.a., 0,80 no visor

 

– Taxa nominal
Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:
– 12% ao ano, capitalizados mensalmente; [latex]frac{12%}{12 meses}[/latex] = 1% ao mês
– 24% ao ano, capitalizados semestralmente; [latex]frac{24%}{2 semestres}[/latex] = 12% ao semestre
– 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; [latex]frac{10 %}{4 trimestres}[/latex] = 2,5% ao trimestre
– 18% ao ano, capitalizados diariamente; [latex]frac{18 %}{360 dias}[/latex] = 0,05% ao dia

A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos.
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.
Nos exemplos anteriores, a taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados das taxas nominais são as seguintes:
– 12% ao ano, capitalizados mensalmente; mês ao %1 meses12 a.a %12 =
– 24% ao ano, capitalizados semestralmente; ao %12 semestre semestres 2 a.a %24 =
– 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; ao %5,2 trimestre strimestre4 a.a %10 =
– 18% ao ano, capitalizados diariamente; dia ao %05,0 dias360 a.a %18 =
Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os cálculos financeiros, no regime de juros compostos, com valores das taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1% ao mês. 12% ao semestre, 2,5% ao trimestre e 0,05% ao dia.
Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida no regime de juros simples. A taxa anual equivalente a essa taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal que lhe deu origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto maior for o número de períodos de capitalização da taxa nominal.

Exercício Resolvido
Determinar as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% ao ano, com os seguintes períodos de capitalização:
a) Mensal;
b) Trimestral;
a) Semestral.

i[latex]_{m}[/latex] = [latex]frac{in}{12}[/latex] = [latex]frac{9}{12}[/latex] = 0,75% ao mês

a) Podemos obter esse resultado, pelos seguintes procedimentos:

Teclas (modo RPN)
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros
12 [n] Armazena o período de 12 meses, 12 no visor
0,75 [i] Armazena a taxa de juros mensal, 0,75 no visor
100 [CHS] [PV] Armazena o principal, -100,00 no visor
[FV] Calcula o valor futuro ao longo dos 12 meses, 109,38 no visor
100[-]Taxa anual equivalente à 0,75% a.m., 9,38 no visor

b) Capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral

i[latex]_{t}[/latex] = [latex]frac{in}{4}[/latex] = [latex]frac{9%}{4}[/latex] = 2,25% ao trimestre

Podemos obter esse resultado, pelos seguintes procedimentos:
Teclas (modo RPN)
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros
4 [n] Armazena o período de 4 trimestres, 4 no visor
2,25 [i] Armazena a taxa de juros trimestral, 2,25 no visor
100 [CHS] [PV] Armazena o principal, -100,00 no visor
[FV] Calcula o valor futuro ao longo dos 4 trimestres, 109,30 no visor
100[-]Taxa anual equivalente à 2,25% a.t., 9,30 no visor

c) Capitalização Semestral – Taxa efetiva semestral

i[latex]_{s}[/latex] = [latex]frac{in}{2}[/latex] = [latex]frac{9%}{2}[/latex] = 4,50% ao semestre

Podemos obter esse resultado, pelos seguintes procedimentos:
Teclas (modo RPN)
[f] CLEAR [FIN] Zerar os registros financeiros
2 [n] Armazena o período de 2 semestres, 2 no visor
4,5 [i] Armazena a taxa de juros semestral, 4,5 no visor
100 [CHS] [PV] Armazena o principal, -100,00 no visor
[FV] Calcula o valor futuro ao longo dos 2 semestres, 109,20 no visor
100[-]Taxa anual equivalente à 4,5% a.s., 9,20 no visor
Exercícios propostos
Considere em todos os problemas o ano comercial com 360 dias.
1) Determinar as taxas mensal e diária proporcional à taxa de 3,6% ao trimestre.
2) Determinar as taxas trimestral e anual proporcionais à taxa de 0,9% ao mês.
3) Determinar as taxas mensal e trimestral equivalentes à taxa de 9,0% ao ano.
4) Determinar a taxa diária equivalente à taxa de 6% ao semestre.
5) Determinar as taxas efetivas trimestral e anual equivalente à taxa de 1,05% ao mês.
6) Determinar as taxas efetivas anuais equivalentes às taxas de 2,0% ao trimestre e 4% ao semestre.
7) Determinar a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 8,5% ao ano, capitalizados trimestralmente.
8) Determinar as taxas efetivas trimestral e anual equivalentes à taxa nominal de 11,4% ao ano, capitalizados mensalmente.
9) Determinar o montante acumulado no final de dois ano ao se aplicar um principal de R$1.000,00 à taxa de 10,20% ao ano, capitalizados mensalmente.
Respostas
1- 1,2 % ao mês; 0,04 % ao dia.
2- 2,7 % ao trimestre; 10,8 % ao ano.
3 – 0,72073 % ao mês; 2,17782 % ao trimestre.
4 – 0,03238 % ao dia
5 – 3,18319 % ao trimestre; 13,35373 % ao ano.
6 – 8,24322 % ao ano; 8,16 % ao ano.
7 – 0,70337 % ao mês
8 – 2,87716 % ao trimestre; 12,01492 % ao ano.
9 – R$1.225,24

 

Para acompanhar as aulas anteriores:
Programa do curso – http://avisoemdois.com.br/2015/07/curso-pratico-calculadora-hp-12c/

Aula – 1 http://avisoemdois.com.br/2015/08/curso-pratico-calculadora-hp-12c-aula-1/

Aula – 2 http://avisoemdois.com.br/2015/09/curso-pratico-calculadora-hp-12c-aula-2/

Aula – 3 http://avisoemdois.com.br/2015/09/curso-pratico-calculadora-hp12-c-aula-3/

Aula – 4 http://avisoemdois.com.br/2015/09/curso-pratico-calculadora-hp-12c-aula-4/

Aula – 5 http://avisoemdois.com.br/2015/10/curso-pratico-calculadora-hp-12c-aula-5/

Calculadora virtual da Fundação Bradesco – http://www.ev.org.br/PublishingImages/ArquivosCursos/HP12C.html

 

Até a próxima aula!

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Economista e Palestrante. CEO do Portal Aviso em Dois e do Projeto Arrisque

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